تبدیلات کانفرمال در هندسه فینسلر

اساس پایان نامه بحث بر روی تبدیلات کانفرمال در فضای فینسلر می باشد. برای بیان تبدیل کانفرمال در ابتدا مفاهیم اولیه فضای فینسلر را بیان نموده، تانسورهای موجود را معرفی می نماییم.در ریاضیات، هندسه کانفرمال مطالعه مجموعه هایی است که حافظ زاویه می باشند. در فضای دو بعدی هندسه کانفرمال همان هندسه سطح های ریمانی است. در ابعاد بیشتر از دو، هندسه کانفرمال معطوف به مطالعه تبدیلات کانفرمال فضاهای مسطح می باشد به عنوان نمونه فضای اقلیدسی یا کروی. ‎‎مطالعه ساختارهای مسطح را هندسه موبیوس نامیده می شود که نوعی از هندسه کلاین می باشد.یک منیفلد کانفرمال، منیفلدی دیفرانسیل پذیر مجهز شده با یک کلاس از تانسورهای متریک شبه دریمانی است که در آن دو متر‎‎‎‎ ‎‎$‎g‎$‎‎‎و ‎‎$‎h‎$‎ معادلند اگر و تنها اگر ‎‎$‎h=‎lambda‎ ^2 g‎$‎ که ‎‎$‎‎lambda‎ ‎>‎‎circ‎‎‎‎$‎ یک تابع مثبت هموار است. کلاس معادل با چنین مترهایی معروف به مترهای کانفرمال یا کلاس کانفرمال است. اغلب مترهای کانفرمال با انتخاب یک متر از کلاس کانفرمال و به کارگیری ساختارهای ناوردای کانفرمال در متریک انتخاب شده مورد استفاده قرار می گیرند.یک متر کانفرمال، مسطح کانفرمال خواهد بود اگر متر نمایش آن مسطح باشد. در کلاس مترهای کانفرمال می توان تری یافت که در یک همسایگی باز هر نقطه مسطح باشد. در این حالت آن را موضعاً مسطح کانفرمال می نامیم اگر چه اغلب تمایزی بین این دو مفهوم قایل نمی شویم. کره ‎‎$‎n-‎$‎ بعدی منیفلد موضعاً مسطح کانفرمالی است که در کل مسطح کانفرمال نمی باشد. در حالیکه یک فضای اقلیدسی، یک تیوپ، یا هرمنیفلد کانفرمال که به وسیله یک زیر مجموعه باز فضای اقلیدسی پوشیده شود، مسطح کانفرمال کلی می باشد. یک منیفلد موضعاً مسطح کانفرمال در هندسه موبیوس منیفلدی موضعاً کانفرمال است، یعنی زاویه ای وجود دارد که حافظ دیفئومورفیسم موضعی از منیفلد به هندسه موبیوس می‍باشد.‎‎ در فضای دو بعدی هر متریک کانفرمال به ورت موضعی مسطح کانفرمال می باشد. در فضای ‎‎$‎n>3‎$‎ بعدی متریک موضعاً مسطح کانفرمال است اگر و تنها اگر تانسور ویل آن صفر باشد. در فضای سه بعدی متریک موضعاً مسطح کانفرمال است اگر و تنها اگر تانسور کاتان آن صفر باشد. هندسه کانفرمال دارای خصوصیاتی است که آن را از هندسه شبه ریمانی متمایز می کند. اگر چه در هندسه ریمانی می توان در هر نقطه یک متریک خوش تعریف داشت در هندسه کانفرمال می توان یک کلاس از مترها را تعریف کرد. بنابراین طول یک بردار مماس قابل تعریف نیست اما زاویه ی بین دو راس قابل تعریف است. دومین ویژگی آن است که التصاق لوی چویتا برای آن وجود ندارد زیرا با در نظر گرفتن ‎‎‎g‎‎ و ‎‎lambda‎ ^2 g‎‎ به عنوان دو نماینده از ساختار کانفرمال، ضرایب کریستوفل برابر نخواهند بود. ضرایب ‎‎lambda‎ ^2 g‎‎ به مشتق تابع ‎‎‎lambda‎ ‎ وابسته است در حالیکه ضرایب مربوط به‎‎‎g‎‎ این گونه نمی باشد.